Высшая математика. Дифференциальное исчисление

Предисловие 5

Введение 7

1 Введение в математический анализ 10

1.1 Множества. Операции над множествами 10

1.2 Числовые множества. Границы числовых множеств 11

1.2.1 Множества действительных чисел 11

1.2.2 Множества комплексных чисел 13

1.3 Функции или отображения 18

1.3.1 Понятие функции 18

1.3.2 Частные классы отображений 18

1.3.3 Основные элементарные функции 20

1.3.4 Суперпозиция (композиция) отображений. Сложная и обратная функции 21

1.4 Системы окрестностей в R и R_n 22

1.5 Предел функции 24

1.5.1 Понятие предела функции 24

1.5.2 Последовательность и её предел 27

1.5.3 Определение предела функции на языке последовательностей 29

1.5.4 Односторонние пределы 30

1.5.5 Теоремы о пределах 30

1.6 Непрерывность функции в точке 32

1.6.1 Основные понятия и теоремы 32

1.6.2 Классификация точек разрыва 34

1.7 Замечательные пределы 36

1.7.1 Первый замечательный предел 36

1.7.2 Второй замечательный предел и его следствия 37

1.8 Бесконечно малые и бесконечно большие функции 40

1.8.1 Теоремы о свойствах бесконечно малых функций 40

1.8.2 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций 41

1.8.3 Свойства эквивалентных бесконечно малых функций 42

Вопросы к разделу 1 44

2 Дифференциальное исчисление 46

2.1 Дифференцируемые отображения 46

2.2 Строение производной матрицы 47

2.3 Некоторые свойства производных 49

2.4 Производная по направлению 54

2.5 Производные высших порядков 55

2.6 Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование 57

2.7 Функции, заданные неявно, и их дифференцирование 59

2.8 Геометрический и механический смысл производной 60

2.9 Уравнение касательной к кривой. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 61

2.10 Дифференциал функции 64

2.11 Дифференциалы высших порядков 66

2.12 Формула Тейлора 67

2.13 Основные теоремы дифференциального исчисления 69

2.14 Правило Лопиталя 71

2.15 Условия постоянства функции. Условия монотонности функции 73

2.16 Экстремумы 74

2.16.1 Необходимые условия экстремума 74

2.16.2 Достаточные условия экстремума 75

2.16.3 Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции 77

2.17 Выпуклость вверх и вниз графика функции 79

2.18 Асимптоты графика функции 80

2.19 Общая схема исследования функции и построения графиков 81

Вопросы к разделу 2 86

3 Методические указания 88

3.1 Понятие функции. Область определения функции 88

3.2 Предел последовательности 91

3.3 Предел функции 94

3.4 Первый замечательный предел 99

3.5 Второй замечательный предел 102

3.6 Следствия второго замечательного предела 105

3.7 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций 109

3.8 Непрерывность функции. Классификация разрывов функции 115

3.9 Техника дифференцирования функций одного аргумента 119

3.10 Производная высших порядков функций одного аргумента 125

3.11 Частные производные 127

3.12 Производная по направлению 132

3.13 Производные параметрически заданных функций 134

3.14 Дифференцирование функций, заданных неявно 135

3.15 Геометрический и механический смысл производной 139

3.16 Дифференциал 144

3.17 Экстремумы. Наибольшие и наименьшие значения функции 152

3.18 Исследование функций и построение графиков 160

4 Контрольные работы 161

4.1 О самоконтроле при выполнении работ 161

4.2 Контрольная работа No 3 162

4.3 Контрольная работа No 4 169

Заключение 180

Литература 181

Ответы 182

Приложение 183

Предметный указатель 187