Высшая математика IV. Теория вероятностей

Предисловие

Предмет теории вероятностей

1. Случайные события. Вероятности и действия над ними

1.1. Понятие события. Классификация событий

1.2. Объединение, пересечение и разность событий

1.3. Понятие вероятности события

1.4. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Формулы умножения вероятностей

1.5. Правило сложения вероятностей

1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса

1.7. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в схеме Бернулли

1.8. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

1.9. Простейший (пуассоновский) поток событий. Формула Пуассона

1.10. Цепи Маркова

2. Одномерные случайные величины

2.1. Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины

2.2. Функция распределения одномерной случайной величины и её свойства

2.3. Плотность распределения одномерной случайной величины

2.4. Математическое ожидание случайной величины

2.5. Мода, медиана, квантиль порядка p

2.6. Дисперсия случайной величины

2.7. Моменты случайной величины

2.8. Характеристические функции

2.9. Равномерное распределение

2.10. Показательное распределение, гамма-распределение

2.11. Нормальное распределение

2.11.1. Числовые характеристики нормального распределения

2.11.2. График нормального распределения

2.11.3. Вычисление P (α < X < β) и P (|X − a| < δ) для нормальной величины. Правило трёх сигм

2.11.4. Линейное преобразование нормальной случайной величины. Композиция нормальных законов распределения. Центральная предельная теорема

2.12. Закон больших чисел

2.12.1. Неравенство Чебышева. Понятие сходимости по вероятности

2.12.2. Теорема Чебышева и некоторые её следствия (теоремы Бернулли и Пуассона)

3. Многомерные случайные величины

3.1. Матрица распределения двумерной случайной величины

3.2. Функция распределения многомерной случайной величины

3.3. Плотность распределения системы случайных величин

3.4. Математическое ожидание от функции нескольких случайных аргументов

3.5. Характеристики связи двух случайных величин

3.5.1. Кривые регрессии (условные математические ожидания)

3.5.2. Коэффициент корреляции

3.6. Теоремы о свойствах числовых характеристик случайных величин

3.6.1. Свойства математического ожидания

3.6.2. Свойства дисперсии

3.6.3. Свойства коэффициента корреляции. Понятие линейной среднеквадратичной регрессии

3.6.4. Двумерное нормальное распределение

4. Элементы математической статистики

4.1. Выборочный метод

4.1.1. Понятие выборки

4.1.2. Простейшие способы обработки выборки

4.1.3. Эмпирическая функция распределения. Выборочные параметры распределения

4.2. Основные понятия теории оценок параметров распределения

4.2.1. Понятие оценки. Требования к оценке

4.2.2. Методы отыскания оценки неизвестных параметров

4.3. Оценка математического ожидания и дисперсии нормальной случайной величины

4.3.1. Построение оценок

4.3.2. Проверка качества оценок математического ожидания и дисперсии

4.3.3. Понятие о доверительном интервале. Построение доверительного интервала для оценки математического ожидания при известном σ нормальной случайной величины

4.3.4. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестном σ

4.3.5. Построение доверительного интервала для оценки σ нормального распределения

4.4. Понятия о статистической проверке гипотез и о критериях согласия

4.4.1. Понятие о статистических гипотезах

4.4.2. Построение критических областей. Задача сравнения дисперсий двух нормально распределённых величин

4.4.3. Понятие о критериях согласия

5. Задания для контрольных работ

5.1. О самоконтроле при выполнении контрольных работ

5.2. Контрольная работа No 11

5.3. Контрольная работа No 12

Приложения

A. Элементы комбинаторики

A1. Что изучает комбинаторика

A2. Выборки и их виды

A3. Правила произведения и суммы

A4. Перестановки без повторения

A5. Перестановки с повторением

A6. Размещение без повторения

A7. Размещение c повторением

A8. Сочетания без повторения

A9. Сочетание c повторениями

B. Таблица значений функции

C. Таблица значений функции

D. Таблица значений tγ = t(γ, n)

E. Таблица значений q = q(γ, n)

Литература