Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1

Предисловие ..............................................................................3

1. Элементы теории множеств

1.1. Вводные понятия..................................................................8

1.2. Подмножества ....................................................................11

1.3. Диаграммы Венна. Универсальное множество ...................12

1.4. Объединение множеств ......................................................13

1.5. Пересечение множеств .......................................................15

1.6. Дополнение множества ......................................................16

1.7. Разность и симметрическая разность множеств ..................17

1.8. Основные теоремы теории множеств ..................................18

1.9. Теоретико-множественные преобразования .......................20

1.10. Бесконечные множества ....................................................21

1.11. Сравнение бесконечных множеств ....................................22

1.12. Счетные множества ............................................................25

1.13. Несчетные множества.........................................................28

1.14. Гипотеза континуума ..........................................................31

1.15. Трансцендентные числа .....................................................32

1.16. Об эквивалентности множеств точек

геометрических объектов ...........................................................32

1.17. Числовые множества ..........................................................34

1.18. Множество комплексных чисел ..........................................37

2. Комбинаторика

2.1. Вводные понятия...................................................................44

2.2. Правило произведения в комбинаторике .............................46

2.3. Правило суммы в комбинаторике .........................................47

2.4. Правило суммы и диаграммы Эйлера — Венна .....................48

2.5. Перестановки без повторений ..............................................49

2.6. Перестановки с повторениями ..............................................50

2.7. Размещения без повторений .................................................51

2.8. Размещения с повторениями ................................................53

2.9. Сочетания без повторений ....................................................54

2.10. Сочетания с повторениями ..................................................55

2.11. Задачи для самостоятельной работы ...................................57

3. Теория вероятностей

3.1. Случайные события ...............................................................60

3.2. Пространство элементарных событий....................................61

3.3. Поле событий ........................................................................63

3.4. Операции над событиями ......................................................65

3.5. Совместные и несовместные события ....................................68

3.6. Полная группа событий ..........................................................69

3.7. Понятие вероятности события ................................................70

3.8. Классический подход. Задачи с решениями ..........................71

3.10. Теорема умножения для зависимых событий ......................78

3.11. Теорема сложения вероятностей .........................................78

3.12. Формула полной вероятности .............................................79

3.13. Формула Байеса...................................................................81

3.14. Схема испытаний Бернулли .................................................86

3.15. Наивероятнейшее число появлений события

в схеме Бернулли .........................................................................87

3.16. О формулах Лапласа и Пуассона .........................................90

3.17. Дискретная случайная величина ..........................................91

3.18. Задачи для самостоятельной работы ...................................98

4. Алгебра логики (булева алгебра)

4.1. Вводные понятия..................................................................114

4.2. Аксиомы булевой алгебры ...................................................118

4.3. Свойства дизъюнкции и конъюнкции ...................................119

4.4. Теоремы одной переменной.................................................120

4.5. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.......121

4.6. Основные теоремы булевой алгебры....................................121

4.7. Понятие булевой функции.....................................................123

4.8. Как задать булеву функцию ? ...............................................125

4.9. Минтермы ............................................................................127

4.10. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма .............128

4.11. Карта Вейча .......................................................................130

4.12. Нанесение функций на карту Вейча....................................132

4.13. Нахождение СДНФ при помощи карт Вейча ......................133

4.14. Алгебраическое упрощение булевых функций ...................135

4.15. Метод Квайна .....................................................................135

4.16. Минимизация булевых функций при помощи карт Вейча .....136

4.17. Конъюнктивные формы булевых функций ...........................138

4.18. Две задачи на применение булевой алгебры ......................140

5. Теория графов

5.1. Вводные замечания ...............................................................143

5.2. Граф. Псевдограф. Мультиграф ..............................................143

5.3. Подграф. Надграф. Частичный граф ......................................145

5.4. Смежность. Инцидентность. Степень вершины ......................147

5.5. Однородный граф. Полный граф. Дополнение графа ............148

5.6. Матрица смежности ...............................................................150

5.7. Маршруты. Цепи. Циклы..........................................................151

5.8. Связность графа .....................................................................153

5.9. Эйлеровы цепи и циклы. Уникурсальная линия .....................154

5.10. Задача о коммивояжере ......................................................157

5.11. Двудольные графы ..............................................................158

5.12. Плоские графы ....................................................................159

5.13. Деревья и лес ......................................................................160

5.14. Понятие ориентированного графа. Матрица смежности......161

5.15. Степень вершины орграфа ..................................................162

5.16. Маршруты, цепи, циклы в орграфах....................................163

5.17. Нахождение максимальной пропускной способности

транспортной сети .......................................................................163

6. Элементы линейной алгебры

6.1. Матрицы и действия над ними ..............................................167

6.2. Определители порядка n .......................................................173

6.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений .............178

6.4. Линейно зависимые и линейно независимые

системы векторов ........................................................................181

6.5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре ..........................183

6.6. Системы линейных уравнений ..............................................186

6.7. Алгебра геометрических векторов ........................................193

7. Приложение линейной алгебры

к задачам аналитической геометрии

7.1. Уравнение линии на поверхности.........................................203

7.2. Полярная система координат ...............................................209

7.3. Уравнения прямой на плоскости ..........................................210

7.4. Уравнение плоскости ...........................................................214

7.5. Уравнение прямой в пространстве .......................................215

7.6. Эллипс ..................................................................................217

7.7. Гипербола .............................................................................219

7.8. Поверхности второго порядка ..............................................221

Контрольные работы

Контрольная работа № 1 ............................................................228

Контрольная работа № 2 ............................................................240

Список вопросов для экзамена ..................................................248

Библиографический список .......................................................255