Математические основы теории систем

Предисловие .................................................................................................................. 7

Введение ........................................................................................................................ 8

1 Общие понятия о системах и их моделях ...................................................................10

1.1 Предварительные замечания ...................................................................................10

1.1.1 Системность человеческой практики, познавательных процессов и природы ......10

1.1.2 Общие свойства систем ........................................................................................ 11

1.2 Модели и моделирование ........................................................................................ 13

1.2.1 Понятие модели и его развитие ............................................................................ 13

1.2.2 Типы моделей ........................................................................................................ 14

1.2.3 Свойства моделей................................................................................................... 16

1.3 Системы, их общее описание и классификация ........................................................ 19

1.3.1 Первое определение системы. Модель «чёрный ящик» ......................................... 19

1.3.2 Модель состава системы ......................................................................................... 22

1.3.3 Модель структуры системы. Второе определение системы ..................................... 22

1.3.4 Динамические модели системы ...............................................................................23

1.3.5 Общая математическая модель динамической системы .......................................... 24

1.3.6 Классификация систем ............................................................................................ 30

2 Автоматное описание систем. Теория конечных автоматов .......................................... 34

2.1 Основные понятия. Способы задания автоматов ........................................................ 34

2.1.1 Определение абстрактного автомата ....................................................................... 34

2.1.2 Задание автоматов ................................................................................................... 38

2.2 Виды автоматов и их свойства .................................................................................... 41

2.2.1 Автономные автоматы .............................................................................................. 41

2.2.2 Автоматы синхронные и асинхронные ..................................................................... 42

2.2.3 Автоматы Мили и автоматы Мура ............................................................................. 43

2.2.4 Автоматы первого и второго рода............................................................................. 47

2.2.5 Гомоморфизм, изоморфизм и эквивалентность автоматов ....................................... 51

2.2.6 Минимизация автоматов ........................................................................................... 52

2.2.7 Частичные автоматы и их свойства ........................................................................... 54

2.3 Распознавание множеств автоматами .......................................................................... 60

2.3.1 Понятие события и постановка задачи представления событий автоматами ............. 60

2.3.2 Регулярные события и алгебра Клини ........................................................................ 63

2.3.3 Синтез автоматов (абстрактный уровень) ................................................................... 70

2.3.4 Анализ автоматов (абстрактный уровень) ................................................................... 74

2.4 Алгебра абстрактных автоматов .................................................................................... 79

2.4.1 Теоретико-множественные операции ......................................................................... 79

2.4.2 Алгебраические операции .......................................................................................... 83

2.5 Структурное исследование автоматов ........................................................................... 101

2.5.1 Комбинационные логические автоматы ..................................................................... 101

2.5.2 Постановка задач синтеза и анализа на структурном уровне .....................................102

2.5.3 Элементный базис ...................................................................................................... 103

2.5.4 Автоматные сети ......................................................................................................... 105

2.5.5 Анализ комбинационных автоматов ........................................................................... 110

2.5.6 Синтез комбинационных автоматов ............................................................................ 111

2.5.7 Кодирование состояний .............................................................................................. 116

2.5.8 Программная реализация комбинационных автоматов .............................................. 118

3 Системы с непрерывными во времени переменными ...................................................... 124

3.1 Дифференциальные уравнения динамики систем ......................................................... 124

3.1.1 Описание систем дифференциальными уравнениями ................................................ 124

3.1.2 Линеаризация............................................................................................................... 125

3.1.3 Общие свойства линейных дифференциальных уравнений .........................................127

3.2 Классические методы решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами .... 128

3.2.1 Однородные уравнения ............................................................................................... 129

3.2.2 Неоднородные уравнения ............................................................................................ 131

3.2.3 Вычисление постоянных интегрирования ..................................................................... 137

3.3 Методы преобразований ................................................................................................. 138

3.3.1 Интегральное преобразование Фурье ...........................................................................138

3.3.2 Интегральные преобразования Лапласа, Карсона, Хевисайда .......................................140

3.3.3 Преобразование Лапласа и дифференциальные уравнения ......................................... 149

4 Операторное описание дискретных по времени систем ..................................................... 153

4.1 Прямой и обратный разностные операторы ..................................................................... 153

4.1.1 Оператор сдвига и разностный оператор ....................................................................... 153

4.1.2 Обратный разностный оператор .................................................................................... 155

4.2 Разностные линейные уравнения динамики ..................................................................... 157

4.2.1 Общие свойства разностных уравнений ......................................................................... 157

4.2.2 Решение однородных разностных уравнений ................................................................ 158

4.2.3 Решение неоднородных разностных уравнений ............................................................. 161

4.3 Методы преобразований .................................................................................................... 167

4.3.1 Дискретное преобразование Лапласа ............................................................................. 167

4.3.2 z-преобразование ............................................................................................................ 169

4.3.3 Разностные уравнения и z-преобразование ..................................................................... 176

5 Матрицы и линейные пространства ........................................................................................ 180

5.1 Основные типы матриц и операции над ними ..................................................................... 180

5.1.1 Общие понятия .................................................................................................................. 180

5.1.2 Простейшие операции ....................................................................................................... 181

5.1.3 Определители, миноры и алгебраические дополнения ..................................................... .182

5.1.4 Присоединенная и обратная матрицы ................................................................................ 184

5.1.5 Векторы и их свойства ........................................................................................................ 186

5.2 Собственные значения и собственные векторы ..................................................................... 188

5.2.1 Характеристическое уравнение .......................................................................................... 188

5.2.2 Модальная матрица ............................................................................................................ 191

5.2.3 Симметрическая матрица ................................................................................................... 194

5.3 Линейные преобразования ................................................................................................... 195

5.3.1 Элементарные действия над матрицами ............................................................................. 195

5.3.2 Эквивалентные преобразования ......................................................................................... 196

5.3.3 Диагонализация матриц ...................................................................................................... 197

5.3.4 Приведение к канонической форме Жордана ..................................................................... 199

5.4 Матричные функции ............................................................................................................... 202

5.4.1 Матричные ряды .................................................................................................................. 202

5.4.2 Функции от матриц .............................................................................................................. 203

5.4.3 Теорема Кэли – Гамильтона ..................................................................................................205

5.4.4 Теорема Сильвестра ............................................................................................................. 208

6 Векторно-матричные дифференциальные уравнения ............................................................... 212

6.1 Уравнения состояния .............................................................................................................. 212

6.1.1 Каноническая форма фазовой переменной ......................................................................... 212

6.1.2 Каноническая форма ............................................................................................................ 214

6.2 Решение уравнений стационарных систем...............................................................................216

6.2.1 Переходная матрица и методы ее вычисления ..................................................................... 216

6.2.2 Общее решение неоднородных уравнений .......................................................................... 219

6.3 Решение уравнений нестационарных систем .......................................................................... 220

6.3.1 Переходная нестационарная матрица .................................................................................. 220

6.3.2 Общее решение нестационарных уравнений ....................................................................... 224

Заключение ................................................................................................................................... 226

Литература..................................................................................................................................... 227

Глоссарий ....................................................................................................................................... 228