Математические основы теории систем

Предисловие.............................................................................................................. 6

Введение ................................................................................................................... 7

1. Общие понятия о системах и их моделях .............................................................. 8

1.1 Предварительные замечания ............................................................................... 8

1.1.1. Системность человеческой практики ................................................................ 8

1.1.2. Системность познавательных процессов и природы ....................................... 10

1.1.3. Общие свойства систем ................................................................................... 10

1.2 Модели и моделирование ................................................................................... 12

1.2.1. Понятие модели и его развитие .......................................................................12

1.2.2. Типы моделей ...................................................................................................13

1.2.3. Свойства моделей ............................................................................................ 17

1.3 Системы, их общее описание и классификация ...................................................20

1.3.1. Первое определение системы. Модель «чёрный ящик» ....................................20

1.3.2. Модель состава системы ...................................................................................22

1.3.3. Модель структуры системы. Второе определение системы .......................... ....23

1.3.4. Динамические модели системы ....................................................................... 24

1.3.5. Общая математическая модель динамической системы .................................. 26

1.3.6. Классификация систем .................................................................................... 31

Контрольные вопросы .............................................................................................. 35

2. Автоматное описание систем. Теория конечных автоматов .................................. 37

2.1. Основные понятия. Способы задания автоматов ................................................ 37

2.1.1. Определение абстрактного автомата ............................................................... 37

2.1.2. Задание автоматов .......................................................................................... 41

2.2 Виды автоматов и их свойства ............................................................................ 43

2.2.1. Автономные автоматы ..................................................................................... 44

2.2.2. Автоматы синхронные и асинхронные ........................................................... 46

2.2.3. Автоматы Мили и автоматы Мура .................................................................... 47

2.2.4. Автоматы первого и второго рода ................................................................... 51

2.2.5. Гомоморфизм, изоморфизм и эквивалентность автоматов ...............................55

2.2.6. Минимизация автоматов ................................................................................. 56

2.2.7. Частичные автоматы и их свойства .................................................................. 59

2.3 Распознавание множеств автоматами ................................................................. 65

2.3.1. Понятие события и постановка задачи представления событий автоматами.....65

2.3.2. Регулярные события и алгебра Клини............................................................... 67

2.3.3. Синтез автоматов (абстрактный уровень) ....................................................... ..73

2.3.4. Анализ автоматов (абстрактный уровень) .........................................................77

2.4 Алгебра абстрактных автоматов .......................................................................... 82

2.4.1. Теоретико-множественные операции .............................................................. 83

2.4.2. Алгебраические операции ............................................................................... 82

2.4.3. Операции над вероятностными автоматами ................................................. .101

2.5 Структурное исследование автоматов ................................................................109

2.5.1. Комбинационные логические автоматы ......................................................... 110

2.5.2. Постановка задач синтеза и анализа на структурном уровне ......................... 111

2.5.3. Элементный базис........................................................................................... 112

2.5.4. Автоматные сети ..............................................................................................114

2.5.5. Анализ комбинационных автоматов ................................................................121

2.5.6. Синтез комбинационных автоматов ................................................................122

2.5.7. Кодирование состояний ...................................................................................128

2.5.8. Программная реализация комбинационных автоматов ................................. 132

2.6 Общие методы синтеза автоматов ..................................................................... 135

2.6.1. Декомпозиция абстрактных автоматов .......................................................... 135

2.6.2. Канонический метод синтеза ......................................................................... 137

2.6.3. Декомпозиционный метод синтеза ................................................................ 139

Контрольные вопросы ............................................................................................ 140

3. Системы с непрерывными во времени переменными...........................................141

3.1 Дифференциальные уравнения динамики систем ..............................................141

3.1.1. Описание систем дифференциальными уравнениями ................................... 141

3.1.2. Линеаризация ................................................................................................ 142

3.1.3. Общие свойства линейных дифференциальных уравнений .......................... 145

3.2 Классические методы решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ..................... 146

3.2.1. Однородные уравнения .................................................................................. 146

3.2.2. Неоднородные уравнения .............................................................................. 149

3.2.3. Вычисление постоянных интегрирования ....................................................... 157

3.3 Методы преобразований .................................................................................... 158

3.3.1. Ряды Фурье и интегральное преобразование Фурье ...................................... 158

3.3.2. Интегральные преобразования Лапласа, Карсона, Хевисайда ........................164

3.3.3. Преобразование Лапласа и дифференциальные уравнения .......................... 176

3.3.4. Разложение произвольных функций по элементарным функциям ................. 179

3.3.5. Преобразование Меллина .............................................................................. 181

3.3.6. Преобразования Бесселя................................................................................. 182

3.3.7. Преобразование Гильберта ............................................................................ .182

3.3.8. Преобразование Лагерра ................................................................................184

Контрольные вопросы ..............................................................................................185

4. Операторное описание дискретных по времени систем ......................................186

4.1 Прямой и обратный разностные операторы .......................................................186

4.1.1. Оператор сдвига и разностный оператор ...................................................... .186

4.1.2. Обратный разностный оператор .................................................................... 189

4.2 Разностные линейные уравнения динамики ......................................................191

4.2.1. Общие свойства уравнений ............................................................................191

4.2.2. Решение однородных уравнений ...................................................................193

4.2.3. Решение неоднородных уравнений ............................................................... 196

4.3 Методы преобразований ................................................................................... 205

4.3.1. Дискретное преобразование Лапласа ............................................................205

4.3.2. z-преобразование .......................................................................................... 209

4.3.3. Разностные уравнения и z-преобразование .................................................. 221

Контрольные вопросы .............................................................................................223

5. Матрицы и линейные пространства .....................................................................225

5.1 Основные типы матриц и операции над ними ...................................................225

5.1.1. Общие понятия................................................................................................225

5.1.2. Простейшие операции ....................................................................................226

5.1.3. Определители, миноры и алгебраические дополнения ..................................227

5.1.4. Присоединенная и обратная матрицы ........................................................... 229

5.2 Векторы и векторные пространства ...................................................................232

5.2.1. Векторы и их свойства ................................................................................... 232

5.2.2. Векторное пространство и подпространство ..................................................235

5.2.3. Базис векторного пространства ......................................................................237

5.3 Собственные значения и собственные векторы .................................................240

5.3.1. Характеристическое уравнение ..................................................................... 240

5.3.2. Модальная матрица ........................................................................................244

5.3.3. Симметрическая матрица ...............................................................................248

5.4 Линейные преобразования ................................................................................249

5.4.1. Элементарные действия над матрицами ....................................................... 249

5.4.2. Эквивалентные преобразования ....................................................................250

5.4.3. Диагонализация матриц .................................................................................253

5.5 Квадратичные формы ........................................................................................260

5.5.1. Преобразование переменных ........................................................................261

5.5.2. Определенные, полуопределенные и неопределенные формы ......................263

5.5.3. Дифференцирование квадратичных форм .....................................................264

5.6 Матричные функции ...........................................................................................266

5.6.1. Матричные ряды .............................................................................................266

5.6.2. Функции от матриц .........................................................................................268

5.6.3. Теорема Кэли – Гамильтона ........................................................................... 271

5.6.4. Теорема Сильвестра........................................................................................ 275

Контрольные вопросы ............................................................................................. 277

6. Векторно-матричные дифференциальные уравнения ..........................................279

6.1 Уравнения состояния ..........................................................................................279

6.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения .................................................279

6.3 Каноническая форма ..........................................................................................282

6.4 Обыкновенные уравнения стационарных систем ...............................................283

6.4.1. Переходная матрица и методы ее вычисления ............................................. .283

6.4.2. Общее решение неоднородных уравнений ................................................... 288

6.5 Обыкновенные уравнения нестационарных систем ...........................................290

6.5.1. Переходная нестационарная матрица............................................................ 290

6.5.2. Сопряженная система .....................................................................................295

6.5.3. Общее решение нестационарных уравнений ................................................ 298

6.6 Уравнения в частных производных ....................................................................300

6.6.1. Уравнения Лагранжа ...................................................................................... 300

6.6.2. Уравнения Гамильтона ....................................................................................303

6.6.3. Уравнение Гамильтона – Якоби ......................................................................308

Контрольные вопросы .............................................................................................310

Литература ..............................................................................................................312