Современные проблемы прикладной математики. Часть 1. Лекционный курс

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………….6

ГЛАВА 1. НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ... 8

§ 1.1. Корректно и некорректно поставленные задачи.....................8

1.1.1. Прямые и обратные задачи……………………..............................8

1.1.2. Некорректно поставленные задачи…………..............................9

1.1.3. Корректность по Тихонову и множество корректности………..12

§ 1.2. Параметрические модели динамических систем…................ 13

1.2.1. Множественные регрессионные модели……...........................13

1.2.2. Регрессионная модель временного ряда….…..........................15

1.2.3. Модели динамических систем в пространстве состояний…….17

Вопросы для самопроверки……………………………............................18

ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ..........20

§ 2.1. Вырожденные, несовместные, плохо обусловленные СЛАУ и их сингулярный анализ...........20

2.1.1. Вырожденные СЛАУ и нормальное решение…..20

2.1.2. Несовместные СЛАУ и псевдорешение………...…21

2.1.3. Плохо обусловленные СЛАУ и число обусловленности……23

2.1.4. Сингулярное разложение матрицы……….…….....25

2.1.5. SVD-алгоритм построения нормального псевдорешения……………………………………28

2.1.6. Построение нормального псевдорешения в Mathcad………………………………………..32

§ 2.2. Оптимальные статистические регуляризирующие алгоритмы решения СЛАУ ……….37

2.2.1. Байесовский регуляризирующий алгоритм……..37

2.2.2. Минимаксный регуляризирующие алгоритм…...42

2.2.3. Оптимальный регуляризирующий SVD-алгоритм……………………………………..44

§ 2.3. Статистические регулирующие алгоритмы решения СЛАУ при неполной априорной информации ………52

2.3.1. Неполная информация и сглаживающий функционал………………………………52

2.3.2. Гладкость решения и стабилизирующий функционал………………………………..56

2.3.3. Регуляризирующий SVD-алгоритм………………61

2.3.4. Систематическая и случайная ошибки решения ……………………………………..64

§ 2.4. Алгоритмы выбора параметра регуляризации…….67

2.4.1. Выбор параметра регуляризации на основе критерия оптимальности…….….68

2.4.2. Алгоритм выбора параметра по критерию оптимальности …………………….….70

2.4.3. Алгоритм выбора параметра по статистическому варианту принципа невязки…………..75

2.4.4. Выбор параметра методом перекрестной значимости……………………………….78

2.4.5. Сравнение различных алгоритмов выбора параметра регуляризации………….81

§ 2.5. Точностные характеристики и синтез регуляризирующих алгоритмов решения СЛАУ....87

2.5.1. Вычисление числовых характеристик ошибок регуляризированного решения….87

2.5.2. Построение доверительных интервалов для решения ……………………………....91

2.5.3. Точностные характеристики регуляризирующих алгоритмов……………..............92

§ 2.6. Синтез регуляризирующих алгоритмов по заданным точностным характеристикам ……………... 96

§ 2.7. Построение регуляризированных решений СЛАУ в Mathcad …………………………………………....... 98

Вопросы для самопроверки………………………………...103

ГЛАВА 3. ЛОКАЛЬНЫЙ РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ….. 105

§ 3.1. Локальный регуляризирующий алгоритм с векторным параметром регуляризации ….…............. 105

§ 3.2. Построение локального регуляризирующего алгоритма ……………………………………….... 107

§ 3.3. Выбор параметра локального регуляризирующего алгоритма ………………………………… 112

§ 3.4. Результаты вычислительного эксперимента……… 113

Вопросы для самопроверки………………………………......…115

ГЛАВА 4. ДЕСКРИПТИВНЫЕ РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ…………………116

§ 4.1. Глобальный дескриптивный регуляризирующий алгоритм ……………. …………….…………….116

§ 4.2. Локальный дескриптивный регуляризирующий алгоритм ……………. …………….……………..121

§ 4.3. Исследования дескриптивных регуляризирующих алгоритмов ……………. …………….………126

Вопросы для самопроверки…………………………………128

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………......129

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………....130