Математика-3-й семестр(курс лекций)

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка …..……..…... 5

1.1. Общие сведения ..……………………………………….... 5

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными ………….. 7

1.3. Однородные уравнения ……………………………..…… 10

1.4. Постановка задачи о выделении решений. Теорема

существования и единственности. …………………….… 12

1.5. Линейные уравнения первого порядка …………………. 15

1.6. Уравнения Бернулли …………………………..…………. 18

1.7. Уравнения в полных дифференциалах ....................……. 20

1.8. Приближенные методы решения дифференциальных

уравнений …………………………………….…………… 23

2. Дифференциальные уравнения высших порядков …….……… 27

2.1. Общие сведения ..……………………………………….. 27

2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка………… 30

2.3. Линейные дифференциальные уравнения высших

порядков ...………………………………….……………. 35

2.4. Линейные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами ………………………... 44

2.5. Метод вариации произвольных постоянных решения

линейных неоднородных уравнений…………………... 51

2.6.Уравнения с правой частью специального вида………... 55

3. Системы дифференциальных уравнений …………….………… 58

3.1. Общая теория …………………………………………..... 58

3.2. Системы дифференциальных уравнений в

симметричной форме………………………………..…… 64

3.3. Метод интегрируемых комбинаций……………...……... 66

3.4. Системы линейных уравнений ...……………………..… 69

3.5. Однородные системы линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами ……...….. 78

3.6. Метод вариации произвольных постоянных…………… 82

4. Элементы теории устойчивости………………………………… 86

4.1. Зависимость решения от параметров и начальных

данных ……………………………………………………. 86

4.2. Определение устойчивости по Ляпунову…………..…... 91

4.3. Метод функций Ляпунова…………………………….…. 94

4.4. Устойчивость линейных систем………………….…….. 97

4.5. Простейшие типы точек покоя систем двух линейных

однородных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами ………….……….…… 98

4.6. Устойчивость по первому приближению……………… 100

5. Уравнения с частными производными первого порядка …...… 105

6. Разностные уравнения ………………………………………..…. 109

6.1. Понятие разностного уравнения …………………..……. 109

6.2. Разностные уравнения первого порядка …………...…... 111

6.3. Разностные уравнения второго порядка ………..………. 113

Элементы теории рядов

7. Представление функций рядами …...………………………..….. 117

7.1. Числовые ряды ...…………………….……………..……. 117

7.2. Функциональные ряды ……………….…………………. 137

7.3. Степенные ряды ………………..…………………...….... 151

7.4. Ряды Тейлора ….…………………………………….…… 155

8. Ряды Фурье …………………………………………………...….. 159

Приложение 1. 1.1. Комплексные числа и действия над

ними ……………………………………...…… 186

1.2. Некоторые функции комплексного

переменного ………………………………….. 191

Приложение 2. Принцип сжатых отображений и некоторые

его применения …………………………………… 194

Приложение 3. Таблица интегралов …………………………….… 204

Приложение 4. Таблица основных дифференциалов ……..…….. 206

Литература .……………………………………………. 207