Математика

Курс лекций

Приведён конспект лекций по дисциплине «Математика», прочитанный весной 2018 года в группах 227-1, 237-1,2,3, и включает в себя определённый и неопределённый интегралы, в том числе и несобственные, криволинейные интегралы, введение в теорию функций комплексного переменного, теорию числовых и функциональных рядов в комплексной форме, теорию степенных рядов (Тейлора и Лорана), ряды Фурье, преобразование и интеграл Фурье, преобразование Лапласа (операционное исчисление). РКФ, 2-й семестр.

Кафедра математики

Библиографическая запись:

Ельцов, А. А. Математика: Курс лекций [Электронный ресурс] / А. А. Ельцов. — Томск: ТУСУР, 2018. — 192 с. — Режим доступа: https://edu.tusur.ru/publications/7584
Автор:   Ельцов А. А.
Год издания: 2018
Количество страниц: 192
Скачиваний: 73

Оглавление (содержание)

1. Определённый интеграл 5

1.1. Определение, свойства, существование 5

1.2. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница 11

2. Неопределенный интеграл 14

Определение и свойства 14

Приемы нахождения неопределенных интегралов 17

2.2.1. Подведение под знак дифференциала 17

2.2.2. Интегрирование по частям 23

2.2.3. Простейшие преобразования подынтегрального выражения 31

2.2.4. Интегрирование рациональных дробей 34

2.2.5. Интегрирование простейших иррациональностей и

выражений, содержащих тригонометрические функции 41

2.3. Задача интегрирования в конечном виде 46

2.4. Замена переменных в определённом интеграле 48

2.5. Приближённое вычисление определённого интеграла 49

2.6. Несобственные интегралы 51

2.6.1. Несобственные интегралы первого рода 51

2.6.2. Несобственные интегралы второго рода 65

2.7. Приложения определённого интеграла 73

2.7.1. Вычисление площадей плоских фигур 73

2.7.2. Вычисление объёмов 75

2.7.3. Вычисление длины дуги кривой 77

3. Криволинейные интегралы. Теория поля 80

3.1. Кривые на плоскости и в пространстве 80

3.2. Криволинейные интегралы первого рода 81

3.3. Криволинейные интегралы второго рода 84

3.3.1. Определение 84

3.3.2. Физический смысл 86

3.3.3. Вычисление и свойства 87

3.4. Элементы теории поля 90

4. Введение в теорию функций комплексного переменного 100

4.1. Комплексные числа и действия над ними 100

4.2. Отображения. Образы и прообразы линий 104

4.3. Некоторые функции комплексного переменного 105

4.4. Предел функции комплексного переменного, непрерывность 107

4.5. Голоморфные (аналитические) функции комплексного

переменного, геометрический смысл модуля и аргумента производной 110

4.6. Интеграл от функции комплексного переменного 114

4.6. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши 117

5. Представление функций рядами 122

5.1. Числовые ряды 122

5.2. Функциональные ряды 134

5.3. Степенные ряды 144

5.4. Ряды Тейлора и Лорана 145

5.5. Нули аналитических функций. Особые точки 148

5.6. Вычеты 158

5.7. Вычисление интегралов с помощью вычетов 161

6. Ряды Фурье 164

7. Интегральные преобразования 179

7.1. Преобразование Фурье, интеграл Фурье, синус и косинус преобразования Фурье 180

7.2. Преобразование Лапласа 185

Литература 192