Математика-2-й семестр (курс лекций)

Список обозначений......................................….....................................................................7

1. Введение в анализ.............................................................................................................8

1.1. Множества. Операции над множествами................….....................................................8

1.2. Множество вещественных чисел .................................……...........................................10

1.3. Функции или отображения ...........................................……..........................................15

1.3.1. Понятие функции ..................................................……...............................................15

1.3.2. Частные классы отображений ...............................……...............................................16

1.3.3. Суперпозиция (композиция) отображений (сложная функция). Обратная функция....24

1.3.4. Основные элементарные функции. ......................……................................................27

1.3.5. Неявный и параметрический способы задания функций............................................28

1.4. Системы окрестностей в R и Rn..................................…..............................................32

1.4.1. Понятие окрестности...........................................……..................................................32

1.4.2. Односторонние окрестности в R..………….…......….......................................................36

1.4.3. Индуцированные системы окрестностей……..………....................................................37

1.5. Предел функции………………....................................…….................................................37

1.5.1. Понятие предела функции.................……….……….......................................................37

1.5.2. Последовательность и её предел..........……………….....................................................46

1.5.3. Односторонние пределы...................……….………….....................................................55

1.5.4. Повторные пределы.......................……………………......................................................58

1.5.5. Теоремы о пределах.....................………….………….......................................................60

1.5.6. Теоремы о пределах в неравенствах...........………….....................................................64

1.6. Непрерывность функции…….....................………………....................................................66

1.6.1. Основные понятия и теоремы...............….…………….....................................................67

1.6.2. Классификация точек разрыва.............……….………......................................................75

1.6.3. Линейные пространства непрерывных функций..........................................................78

1.7. Замечательные пределы........................………………..…....................................................80

1.7.1. Первый замечательный предел и его следствия….........................................................80

1.7.2. Второй замечательный предел и его следствия….…......................................................81

1.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.…….................................................85

1.9. Асимптоты...................................……..........................……………………..............................92

2. Дифференциальное исчисление функций одной и многих переменных..................…......94

2.1. Дифференцируемые отображения...................................................................................94

2.2. Строение производной матрицы.................………………....................................................98

2.3. Некоторые свойства производных. Таблица производных..................................…………105

2.4. Производная сложной функции..........................………….................................................110

2.5. Производная обратной функции...................……….……...................................................119

2.6. Производная по направлению...................………………….................................................121

2.7. Производные высших порядков...................………………..................................................124

2.8. Производная функции, заданной параметрически..………...............................................130

2.9. Производная функции, заданной неявно..........…………...................................................131

2.10. Геометрический и механический смысл производной…................................................137

2.11. Геометрические приложения производной (касательная, касательная плоскость, нормаль)………….143

2.12. Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение

дифференциала к приближенным вычислениям…………………….............................................148

2.13. Дифференциалы высших порядков..................................................................……………152

2.14. Формула Тейлора..................................................................................………………………155

2.15. Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной........158

2.16. Достаточные условия дифференцируемости........…........................................................163

3. Применения дифференциального исчисления………………………………............................…..166

3.1. Раскрытие неопределенностей. Теорема Лопиталя...……..................................................166

3.2. Монотонные функции...........................…………………….....................................................172

3.3. Экстремумы..................................…………………………........................................................175

3.3.1. Необходимые условия экстремума..........………..............................................................175

3.3.2. Достаточные условия экстремума.........……………...........................................................178

3.3.3. Метод наименьших квадратов..............…………...............................................................185

3.3.4. Условные экстремумы....................………………….............................................................186

3.3.5. Глобальные экстремумы. Нахождение наибольших и наименьших значений……………..189

3.4. Выпуклые и вогнутые функции...................…………...........................................................199

3.5. Исследование функций и построение графиков.....…........................................................204

4. Интегральное исчисление функций одной переменной………………………………….................209

4.1. Определённый интеграл ....………………………………… 209

4.1.1. Определение, свойства, существование .......……….... 209

4.1.2. Интеграл как функция верхнего предела. Формула

Ньютона-Лейбница..........……….................................. 215

4.2. Неопределенный интеграл.......................………………….. 217

4.2.1. Определение и свойства .......………............................. 217

4.2.2. Приемы нахождения неопределенных интегралов...... 220

4.2.2.1. Подведение под знак дифференциала……….... 221

4.2.2.2. Интегрирование по частям ………..................... 227

4.2.2.3. Простейшие преобразования

подынтегрального выражения ………............... 234

4.2.2.4. Интегрирование рациональных дробей …….... 238

4.2.2.5. Интегрирование простейших -

иррациональностей и выражений,

содержащих тригонометрические функции ... 245

4.3. Задача интегрирования в конечном виде …………………. 250

4.4. Замена переменных в определённом интеграле ………...... 252

4.5. Приближённое вычисление определённого интеграла ...... 253

4.6. Несобственные интегралы ................……………………… 255

4.6.1. Несобственные интегралы первого рода ......………... 255

4.6.2. Несобственные интегралы второго рода ....…………. 269

4.7. Приложения определённого интеграла …………………… 277

4.7.1. Вычисление площадей плоских фигур .......………..... 277

4.7.2. Вычисление объёмов .........…………………………… 279

4.7.3. Вычисление длины дуги кривой ..............…………..... 281

5. Интегральное исчисление функций многих

переменных …………………………………. 284

5.1. Криволинейные интегралы. Теория поля ....……………… 284

5.1.1. Кривые на плоскости и в пространстве .......……….... 284

5.1.2. Криволинейные интегралы первого рода......………... 285

5.1.3. Криволинейные интегралы второго рода .....………... 288

5.1.3.1. Определение ………............................................ 288

5.1.3.2. Физический смысл ……….................................. 291

5.1.3.3. Вычисление и свойства ……….......................... 291

5.1.4. Элементы теории поля ......………................................. 294

5.2. Кратные интегралы ………………………………………… 303

5.2.1. Определение и свойства .......………............................. 303

5.2.2. Вычисление кратных интегралов .........……………... 306

5.2.2.1. Вычисление двойных интегралов ………......... 306

5.2.2.2. Вычисление тройных интегралов ………......... 313

5.2.3. Замена переменных в кратных интегралах ...………... 314

5.2.3.1. Криволинейные системы координат ……….... 314

5.2.3.2. Полярная система координат на плоскости ...... 316

5.2.3.3. Сферическая и цилиндрическая системы

координат в R3 ……………………………......... 317

5.2.3.4. Замена переменных в интегралах ……….......... 319

5.2.4. Приложения кратных интегралов ...……….................. 327

5.2.3.1. Вычисление площадей плоских фигур ……..... 327

5.2.3.2. Вычисление объёмов тел ................................... 328

5.2.3.3. Вычисление площади поверхности ………….... 329

Приложение 1. 1.1. Комплексные числа и действия над ними …. 332

1.2. Некоторые функции комплексного

переменного ………………………………….. 337

Приложение 2. Основные формулы дифференцирования ……… 340

Приложение 3. Таблица производных ………………………….… 341

Приложение 4. Таблица основных дифференциалов ……..……... 342

Приложение 5. Таблица интегралов ……..……………………….. 344

Литература .…………………………………………….. 346