Математика

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка…..………….....................................................5

1.1. Общие сведения..………………………………………….....................................................................5

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными..…………............................................................7

1.3. Однородные уравнения…………………………………...................................................................10

1.4. Постановка задачи о выделении решений. Теорема существования и единственности.….....12

1.5. Линейные уравнения первого порядка…………………..............................................................15

1.6. Уравнения Бернулли……………………………………......................................................................18

1.7. Уравнения в полных дифференциалах...………………...............................................................20

1.8. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений…………………………………....23

2. Дифференциальные уравнения высших порядков……………......................................................27

2.1. Общие сведения.………………………………..................................................................................27

2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.………...............................................................30

2.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков...……………………………………......35

2.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами…………………......44

2.5. Метод вариации произвольных постоянных решения линейных неоднородных уравнений...51

2.6. Уравнения с правой частью специального вида………..............................................................55

3. Системы дифференциальных уравнений………………………..........................................................58

3.1. Общая теория……………………………………..................................................................................58

3.2. Системы дифференциальных уравнений в симметричной форме……………………………………...64

3.3. Метод интегрируемых комбинаций……………............................................................................66

3.4. Системы линейных уравнений...……………………….....................................................................69

3.5. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами…………..................................................................................................................78

3.6. Метод вариации произвольных постоянных……………...............................................................82

4. Элементы теории устойчивости…………………………………..............................................................86

4.1. Зависимость решения от параметров и начальных данных………………………………………………..86

4.2. Определение устойчивости по Ляпунову……..............................................................................91

4.3. Метод функций Ляпунова……………………………….......................................................................94

4.4. Устойчивость линейных систем……………………….......................................................................97

4.5. Простейшие типы точек покоя систем двух линейных однородных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами………….………….…........................................................98

4.6. Устойчивость по первому приближению………………................................................................100

5. Уравнения с частными производными первого порядка…….......................................................105

6. Разностные уравнения………………………………………….................................................................109

6.1. Понятие разностного уравнения………………………....................................................................109

6.2. Разностные уравнения первого порядка…….............................................................................111

6.3. Разностные уравнения второго порядка………………..................................................................113

Элементы теории рядов

7. Представление функций рядами…...……………………………............................................................117

7.1. Числовые ряды…………………….………………….............................................................................117

7.2. Функциональные ряды……………….………………….......................................................................137

7.3. Степенные ряды………………..………………….................................................................................151

7.4. Ряды Тейлора….………………………….……………….........................................................................155

8. Ряды Фурье……………………………………………………….....................................................................159

Приложение 1.1. Комплексные числа и действия над ними.………..……………….…………………..........186

Приложение 1.2. Некоторые функции комплексного переменного……………………….………..............191

Приложение 2. Принцип сжатых отображений и некоторые его применения……………………………..194

Приложение 3. Таблица интегралов………………………………...............................................................204

Приложение 4. Таблица основных дифференциалов........................................................……………..206

Литература.……………………………………………......................................................................................207