Вычислительные методы

Введение

1 Погрешности вычислений

1.1 Источники погрешностей

1.2 Приближенные числа

1.3 Погрешности арифметических действий

1.4 Обратная задача теории погрешностей

2 Корректность и обусловленность вычислительных задач и алгоритмов

2.1 Постановка вычислительной задачи

2.2 Обусловленность вычислительной задачи

2.3 Корректность вычислительных алгоритмов

2.4 Требования к вычислительным алгоритмам

2.4.1 Требования к абстрактным алгоритмам

2.4.2 Требования к программным реализациям алгоритмов

2.4.3 Противоречивость требований

3 Приближенное решение нелинейных уравнений с одной переменной

3.1 Локализация корней

3.2 Обусловленность задачи вычисления корня

3.3 Метод дихотомии

3.4 Метод Ньютона

3.4.1 Модификации метода Ньютона

3.4.2 Уточнение метода Ньютона для случая кратного корня

3.5 Метод хорд

3.6 Метод итераций

3.7 Обусловленность методов вычисления корня

4 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

4.1 Постановка задачи

4.2 Нормы векторов и матриц

4.3 Абсолютная и относительная погрешности векторов

4.4 Обусловленность задачи решения систем линейных алгебраических уравнений

4.5 Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

4.5.1 Метод Гаусса

4.5.2 QR-алгоритм решения СЛАУ

4.5.3 Метод ортогонализации

4.5.4 Метод Халецкого

4.6 Итерационные методы решения СЛАУ

4.6.1 Метод простой итерации решения СЛАУ

4.6.2 Подготовка системы для итерационного процесса

4.6.3 Метод Зейделя

4.7 Оценка погрешности метода простой итерации и процесса Зейделя

4.8 Процесс Зейделя для нормальной системы

4.9 Метод прогонки

4.10 Решение переопределенной системы линейных уравнений

4.11 Вычисление определителей

4.11.1 Свойства определителей

4.11.2 Вычисление определителей методом Гаусса

4.11.3 Вычисление определителей методом Халецкого

4.12 Вычисление обратной матрицы

5 Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц

5.1 Постановка задачи

5.2 Преобразование подобия

5.3 Локализация собственных значений

5.4 Обусловленность задачи вычисления собственных значений и собственных векторов

5.5 Степенной метод вычисления максимального собственного числа

5.6 QR-алгоритм вычисления собственных чисел

5.7 Метод обратных итераций вычисления собственных векторов

5.8 Метод Данилевского

5.8.1 Вычисление собственных чисел

5.8.2 Вычисление собственных векторов

6 Приближeнное решение систем нелинейных уравнений

6.1 Постановка задачи

6.2 Локализация корней

6.3 Метод Ньютона

6.3.1 Модифицированный метод Ньютона

6.4 Метод итераций

6.4.1 Достаточные условия сходимости процесса итераций

7 Приближение функций

7.1 Постановка задачи

7.2 Интерполяция обобщенными многочленами

7.3 Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа

7.4 Погрешность интерполяции

7.5 Минимизация оценки погрешности

7.6 Интерполяционная формула Ньютона для равномерной сетки

7.7 Интерполяционная формула Ньютона для неравномерной сетки

7.8 Чувствительность интерполяционного полинома к погрешностям входных данных

7.9 Интерполяция с помощью «скользящего» полинома

7.10 Кусочно-полиномиальная аппроксимация

7.11 Тригонометрическая интерполяция

7.12 Приближение сплайнами

7.12.1 Линейные сплайны

7.12.2 Параболические сплайны

7.12.3 Кубические сплайны

7.13 Интегральное квадратичное аппроксимирование функций на отрезке

7.14 Ортогональные системы функций

7.14.1 Ортогональная система тригонометрических функций

7.14.2 Полиномы Лежандра

8 Численное дифференцирование функций

8.1 Простейшие формулы численного дифференцирования

8.2 Общий способ получения формул численного дифференцирования

8.3 Численное дифференцирование на основе кубических сплайнов

8.4 Обусловленность формул численного дифференцирования

9 Численное интегрирование функций

9.1 Квадратурные формулы Ньютона—Котеса

9.2 Формула трапеций

9.3 Формула Симпсона

9.4 Квадратурная формула Гаусса

9.5 Квадратурная формула Чебышева

9.6 Формула прямоугольников

9.7 Обусловленность квадратурных формул

9.8 Правило Рунге оценки погрешности квадратурных формул

10 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

10.1 Постановка задачи

10.2 Метод Эйлера

10.3 Методы Рунге—Кутты

10.4 Решение систем дифференциальных уравнений

10.5 Решение дифференциального уравнения n-го порядка

10.6 Контроль погрешности

Литература

Глоссарий

Предметный указатель