Электромагнитная совместимость: численные методы решения задач электростатики

Предисловие.......................................................................................... 3

Список сокращений ............................................................................... 5

1 Электромагнитная совместимость и электростатика:

общие сведения

1.1 Электромагнитная совместимость ................................................... 7

1.2 Автоматизированное проектирование .......................................... 11

1.3 Уравнения Максвелла ................................................................... 14

1.4 Дифференциальные уравнения в частных производных .............. 16

1.5 Интегральные уравнения .............................................................. 19

1.6 Уравнения электростатики ............................................................ 26

1.7 Граничные условия ........................................................................ 32

1.7.1 Граничные условия на поверхности проводников ...................... 32

1.7.2 Граничные условия на поверхности раздела

диэлектриков ..................................................................................... 32

1.8 Основная задача электростатики и теорема единственности ...... 33

1.9 Метод зеркальных изображений ................................................. 34

1.10 Квазистатический подход и линии передачи ............................ 39

Контрольные вопросы и задания ...................................................... 46

2 Методы решения системы линейных алгебраических

уравнений (СЛАУ)

2.1 Общие сведения ......................................................................... 47

2.1.1 Постановка задачи ................................................................... 47

2.1.2 Нормы векторов ...................................................................... 48

2.1.3 Скалярное произведение векторов ......................................... 49

2.1.4 Абсолютная и относительная погрешности векторов .............. 49

2.1.5 Сходимость по норме ............................................................. 50

2.1.6 Нормы матриц ........................................................................ 50

2.1.7 Обусловленность задачи решения СЛАУ ................................. 52

2.1.8 Масштабирование .................................................................. 55

2.1.9 Форматы хранения матриц .................................................... 56

2.1.10 Методы решения СЛАУ ......................................................... 57

2.2 Прямые методы решения СЛАУ ................................................ 58

2.2.1 Метод исключения Гаусса ...................................................... 58

2.2.2 Метод прогонки ..................................................................... 63

2.2.3 Многократное решение СЛАУ ................................................ 66

2.3 Итерационные методы решения СЛАУ ..................................... 69

2.3.1 Особенности итерационных методов .................................... 69

2.3.2 Методы Якоби и Гаусса – Зейделя ......................................... 71

2.3.3 Релаксационные методы ....................................................... 75

2.3.4 Методы крыловского типа .................................................... 77

2.3.5 Предобусловливание ............................................................ 83

2.3.6 Предфильтрация ................................................................... 89

2.3.7 Многократное решение СЛАУ ............................................... 92

Контрольные вопросы и задания .................................................. 96

3 Метод конечных разностей

3.1 Конечно-разностная аппроксимация ...................................... 98

3.2 Способы повышения точности вычислений ........................... 103

3.2.1 Разложение в ряд Тейлора ................................................. 103

3.2.2 Интерполяционные полиномы ........................................... 105

3.2.3 Многочлены Лагранжа........................................................ 108

3.3 Решение эллиптических уравнений ...................................... 110

3.3.1 Двухмерное уравнение Лапласа: однородный

диэлектрик ................................................................................. 110

3.3.2 Двухмерное уравнение Пуассона ...................................... 117

3.4 Математическая модель вычисления емкостной матрицы

многопроводной линии передачи ............................................ 120

3.5 О нумерации узлов сетки ................................................... 129

Контрольные вопросы и задания ............................................. 131

4 Вариационные методы

4.1 Операторы в линейных пространствах .............................. 132

4.2 Вариационное исчисление ................................................ 134

4.3 Получение функционала из дифференциального

уравнения .............................................................................. 140

4.4 Метод Рэлея – Ритца ........................................................ 142

Контрольные вопросы и задания .......................................... 151

5 Метод моментов

5.1 Общие сведения .............................................................. 152

5.2 Примеры решения электростатических задач ................. 161

5.2.1 Тонкая проволока ......................................................... 161

5.2.2 Тонкая пластина ................................................................ 167

5.2.3 Плоский конденсатор ........................................................ 171

5.3 Базисные и тестовые функции .................................................. 176

5.4 Математическая модель вычисления емкостной матрицы

многопроводной линии передачи ........................................... 182

5.5 Адаптивная перекрестная аппроксимация .............................. 193

Контрольные вопросы и задания .................................................... 196

6 Метод конечных элементов

6.1 Конечные элементы ................................................................... 198

6.2 Решение двухмерного уравнения Лапласа ............................... 201

6.2.1 Дискретизация области ...................................................... 201

6.2.2 Формирование уравнений отдельного

конечного элемента ........................................................... 203

6.2.3 Ансамблирование ............................................................... 208

6.2.4 Решение результирующего матричного уравнения ........ 212

6.3 Решение уравнения Пуассона ................................................... 221

6.4 Решение уравнения Гельмгольца .............................................. 224

6.5 Особенности построения сетки ................................................. 231

6.6 Математическая модель вычисления емкостной матрицы

многопроводной линии передачи ............................................ 233

Контрольные вопросы и задания .................................................... 234

Заключение ....................................................................................... 235

Литература ........................................................................................ 237

Приложение А (справочное). Программирование

в GNU Octave ............................................................................. 241