Дифференциальное исчисление

1. Введение в математический анализ

1.1. Множества. Операции над множествами

1.2. Числовые множества. Границы числовых множеств

1.3. Функции или отображения

1.3.1. Понятие функции

1.3.2. Частные классы отображений

1.3.3. Основные элементарные функции

1.3.4. Суперпозиция (композиция) отображений. Сложная и обратная функции

1.4. Системы окрестностей в R и Rn

1.5. Предел функции

1.5.1. Понятие предела функции

1.5.2. Последовательность и её предел

1.5.3. Определение предела функции на языке последовательностей

1.5.4. Односторонние пределы

1.5.5. Теоремы о пределах

1.6. Непрерывность функции в точке

1.6.1. Основные понятия и теоремы

1.6.2. Классификация точек разрыва

1.7. Замечательные пределы

1.7.1. Первый замечательный предел

1.7.2. Второй замечательный предел и его следствия

1.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1.8.1. Теоремы о свойствах бесконечно малых функций

1.8.2. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

1.8.3. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций

2. Дифференциальное исчисление

2.1. Дифференцируемые отображения

2.2. Строение производной матрицы

2.3. Некоторые свойства производных

2.4. Производная по направлению

2.5. Производные высших порядков

2.6. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование

2.7. Функции, заданные неявно, и их дифференцирование

2.8. Геометрический и механический смысл производной

2.9. Уравнение касательной к кривой. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

2.10. Дифференциал функции

2.11. Дифференциалы высших порядков

2.12. Формула Тейлора

2.13. Основные теоремы дифференциального исчисления

2.14. Правило Лопиталя

2.15. Условия постоянства функции. Условия монотонности функции

2.16. Экстремумы

2.16.1.Необходимые условия экстремума

2.16.2.Достаточные условия экстремума

2.16.3.Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции

2.17. Выпуклость вверх и вниз графика функции

2.18. Асимптоты графика функции

2.19. Общая схема исследования функции и построения графиков

3. Методические указания (контрольная работа No 3)

3.1. Понятие функции. Область определения функции (задачи 1 и 2)

3.2. Предел последовательности (задачи 3, а, б)

3.3. Предел функции (задачи 4, а, б)

3.4. Первый замечательный предел (задача 4, в)

3.5. Второй замечательный предел (задача 4, г)

3.6. Следствия второго замечательного предела (задачи 4, д, е)

3.7. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций (задача 5)

3.8. Непрерывность функции. Классификация разрывов функции (задачи 6, а, б)

4. Методические указания (контрольная работа No 4)

4.1. Техника дифференцирования функций одного аргумента (задачи 1, а, б, в)

4.2. Производная высших порядков функций одного аргумента (задачи 2 и 3)

4.3. Частные производные (задачи 4 и 5)

4.4. Производная по направлению (задача 6)

4.5. Производные параметрически заданных функций (задача 7)

4.6. Дифференцирование функций, заданных неявно (задача 8)

4.7. Геометрический и механический смысл производной (задача 9)

4.8. Дифференциал (задачи 10 и 11)

4.9. Экстремумы. Наибольшие и наименьшие значения функции (задачи 12 и 13)

4.10. Исследование функций и построение графиков (задача 14)

5. Контрольные работы

5.1. О самоконтроле при выполнении работ

5.2. Контрольная работа No 3

5.3. Контрольная работа No 4

Литература

Предметный указатель